Question

已知|a-b|=1,|b+c|=1,|a+c|=2,则|a+b+2c|=? 求详细过程，不要猜的、、、、

Answer 1

因为|a+c|=|(a-b)+(b+c)|=2
且|a-b|=1
|b+c|=1
所以 a-b=b+c=1 或 a-b=b+c=-1

(1) a-b=b+c=1，则a+c=2
|a+b+2c|=|(a+c)+(b+c)|=|2+1|=3
(2) a-b=b+c=-1，则a+c=-2
|a+b+2c|=|(a+c)+(b+c)|=|-2-1|=3

总有 |a+b+2c|=3。

Answer 2

由绝对值的性质||a|-|b||≤|a+b|≤||a|+|b||可得
||a-b|+|b+c||≥|a-b+b+c|=|a+c|
根据题意可知上述不等式两边都等于2
所以上式取等号，而上式取等号的充要条件是a-b与b+c同号
所以a-b与2(b+c)也同号
a-b+2(b+c)=a+b+2c
所以|a+b+2c|=||a-b|+2|b+c||=|1+2|=3
即|a+b+2c|=3