Question

已知f（x）=﹙a^x-a^-x﹚÷﹙a^x＋a^-x﹚(0﹤a﹤1).证明f（x﹚是定义域上的减函数(2)求f（x﹚的值域

Answer 1

(1)
证明：函数定义域是R。
设任意x1<x2∈R，则
f（x）=﹙a^x-a^-x﹚/﹙a^x＋a^-x﹚
分子分母同乘以a^x得
f(x)=(a^2x-1)/(a^2x+1)
f(x1)-f(x2)=(a^2x1-1)/(a^2x1+1)
-(a^2x2-1)/(a^2x2+1)
=2(a^(2x1)-a^(2x2))/[(a^(2x1)+1)(a^(2x2)+1)]
因为t=a^x>0 ,0<a<1在x∈R上是严格递减函数
故g(x)=a^2x也是严格递减函数。
因为x1<x2，0<a<1,
所以a^2x1>a^2x2，即：a^(2x1)-a^(2x2)>0
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以函数是减函数。
(2)
令t=a^x, a^(-x)=1/t
则原函数变成：y=f(t)=[t-1/t]/[t+1/t]
=( t^2-1)/( t^2+1)=1-2/( t^2+1),
t^2=a^(2x)>0,
所以t^2+1>1，0<1/( t^2+1)<1,
-2<-2/( t^2+1)<0,
-1<y<1
值域：(-1,1).