Question

关于二次函数的难题 及答案

Answer 1

二次函数的难题
1已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P
（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）
（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式．
（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0＜m＜2，当m=2，即点P在x轴时，当m＞2即点P在第四象限时，分别得出即可；
（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可．
解答： 解：（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，
由题得 ，
解得 ，
∴点P的坐标为（ ， ）；

（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），
∴AC=2，
∵C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m＞0）个，
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2，
①当0＜m＜2，即点P在第一象限时，如图1，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（ ， ），
∴PH= ，
∴S= CD•2•（- m2+2）=- m2+2，
②当m=2，即点P在x轴时，△PCD不存在，
③当m＞2即点P在第四象限时，如图2，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（ ， ），
∴PH= ，
∴S= CD•HP= ×2× = m2-2；

（3）如图3若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF，
∴PE= ，
∵P（ ， ），
∴点E的坐标为（ ， ），
把点E代入抛物线解析式得： ，
一个抛物线形的桥洞，洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，o为原点建立平面直角坐标系。求：一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？
设方程 y=ax^2+bx+c
图象过点(0,0) (6,0),和(3,3)代入
c=0
0=36a+6b
3=9a+3b
算得 a=-1/3, b=2
图象 函数解析式 y=-x^2/3+2x
（2）宽度2就可以通过（长为3不用）
设刚好通过时与抛物线交点为c、d，c(x1,h),d (x2,h)得到h=-x1^2/3+2x1,h=-x2^2/3+2x2, |x1-x2|=2以上3个方程联立，不妨设x2>x1整理得
x2-x1=4 ,x2+x1=6
x1=2 x2=4 将x1=2代入抛物线方程得h1=8/3

Answer 2

已知：抛物线y=a(x-t-1)^2+t^2(a,t为常数，且a≠0,t≠0)的顶点为A，另一条抛物线y=x^2-2x+1的顶点为B
问题：如果抛物线y=a(x-t-1)*+t*经过点B．
①求a的值．
②这条抛物线与X轴的两个交点与它的顶点能否构成直角三角形?若能,请你求出t的值,不能,请你说明理由!
解:(1).由y=x^2-2x+1=(x-1)^2,得顶点B(1,0).
∵抛物线y=a(x-t-1)^2+t^2经过B(1,0),∴有等式:
(a+1)t^2=0,已知t≠0,故必有a+1=0,即a=-1.
(2).将a=-1代入原方程得:
y=-(x-t-1)^2+t^2=-[x-(t+1)]^2+t^2
=-[x^2-2(t+1)x+(t+1)^2]+t^2
=-x^2+2(t+1)x-(t+1)^2+t^2
=-x^2+2(t+1)x-2t-1
这是一条开口朝下的抛物线,由于其判别式:
△=4(t+1)^2+4(-2t-1)
=4(t^2+2t+1)-8t-4
=4t^2>0
对任何t≠0都成立,故在t≠0的条件下,抛物线与X轴总有两个交点.
其顶点A的坐标为(t+1,t^2).
令y=-x^2+2(t+1)x-2t-1
=-[x^2-2(t+1)x+2t+1]
=-[x-(2t+1)](x-1)=0
得x1=1, x2=2t+1,
故可设抛物线与X轴的交点为ME(2t+1,0) F(1,0)
而A(t+1,t2)由对称性有AF=AE
∴只能是∠FAE=90°,AF^2=AD^2+DF^2.
而FD=OD-OF=t+1-1=t,AD=t^2,
∴AF^2=t^2+t^2=AE^2,
FE=OE-OF=2t+1-1=2t.
令EF^2=AF^2+AE^2,则有(2t)^2=2(t^2+t^2),4t^2=2t^4+2t^2,
∵t≠0,
∴t^2-1=0,
∴t=±1.

情况二:E(1,0),F(2t+1,0)
用分析法若△FAE为直角三角形,由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形.
且D为FE中点,∵A(t+1,t2),
∴AD=t^2,OD=t+1,
∴AD=DE,∴t^2=OE-OD=1-(t+1),
t^2=-t, ∴t1=0(不合题意,舍去),t2=-1.
故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形,这时t=±1.

综上t=±1