Question

二次函数难题

函数f(x)=ax^2+4x+1在区间[0,b]上的任意x,满足f(x)属于[-2,2]，记b的最大值为g(a),则g(a)的最大值为

Answer 1

[1]
a=0
-2<=4x+1<=2
-3/4<=x<=1/4
b<=1/4
[2]
a≠0
f(0)=1
f(b)=ab^2+4b+1
f(-2/a)=1-4/a
1)
-2/a∈[0,b]
a<0, (-a)b>=2
|f(x)|max=max{|f(-2)|,|f(2)|,|f(-2/a)|}<=2
1-4/a<=2
-a>=4
b<=1/2
当b=1/2,a=-4时f(x)满足条件
所以b=1/2是当-2/a∈[-2,2]时的最大值
2)-2/a∉[0,b]
a>0或a<-2/b
f(x)属于[-2,2] => |f(b)|<=2
若a>0
-2<f(0)<ab^2+4b+1<=2
0<a<=(1-4b)/b^2
b<1/4
若0>a>-2/b
-2<f(0)<ab^2+4b+1<2
-2/b<a<=(1-4b)/b^2
b<1/2
综上g(a)最大值为1/2,此时a=-4

Answer 2

额。。。还真是挺难的。人老了，懒得动脑子，不过我觉得应该是数形结合，分情况讨论，第一种是开口向上，在[0，b]上单调递增，然后此时满足一个关系式。第二种情况是，开口向下[0,b]单调递减。三四以此类推，就是对称轴在Y轴左右两侧的情况，以此得到a的取值范围，和ab之间的关系式。
不知行不行的通