Question

二次函数的经典难题

Answer 1

6．如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

【分析】(1)由直角三角形相似的性质可求OC=4; (2)由三点式或二根式可设抛物线的解析式,再将坐标代入求出相应的字母系数即可; (3) 以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论:CQ=PC, PQ=QC, PQ=PC来构建等式. 【答案】（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2．（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论． ①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（－t），解得t=．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2－2x－4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1－，）．

Answer 2

题不在难，在于精。

Answer 3

二次函数的经典难题

sure,very difficult