Question

已知a,b为正实数,试比较(a/√b)+(b/√a)与√a+√b的大小

Answer 1

解：要比较(a/√b)+(b/√a)与√a+√b的大小，
因为a，b都是正实数，所以可以比较它们的平方大小；
[(a/√b)+(b/√a)]²=a²/b+b²/a+2√ab；
(√a+√b)²=a+b+2√ab；
只比较 a²/b+b²/a 与a+b的大小即可；
做差： a²/b+b²/a -(a+b)
=(a³+b³)/ab -(a+b)
=(a³+b³-a²b-ab²)/ab
=(a+b)(a-b)²/ab
由a，b都是正实数，得到(a+b)(a-b)²/ab≥0；
当且仅当 a=b时等号成立；
故 (a/√b)+(b/√a) ≥ √a+√b，当且仅当a=b时等号成立。

Answer 2

a,b为正实数，a-b和√a-√b是同号的
所以有(a-b)(√a-√b)≧0
展开可得：a√a+b√b-b√a-a√b≧0
即：a√a+b√b≧b√a+a√b
两边同时除以√ab即得：
(a/√b)+(b/√a)≧√a+√b

Answer 3

证法很多
1作差
(a/√b)+(b/√a)-(√a+√b)=[(a-b)/√b]+[(b-a)/√a]=(a-b)[1/√b-1/√a]
两者同号，所以差>=0
2柯西不等式
(√a+√b)[(a/√b)+(b/√a)]>=(√a+√b)^2
同除(√a+√b)即可
还可以用排序不等式..等等..

Answer 4

(a/√b)+(b/√a)=(a√a+b√b)/√ab
√a+√b=(a√b+b√a)/√ab
所以要比较(a/√b)+(b/√a)与√a+√b的大小，即可比较(a√a+b√b)与(a√b+b√a)的大小
(a√a+b√b)-(a√b+b√a)=a(√a-√b)+b(√b-√a)=(a-b)(√a-√b)
当a>b时 ,(a-b)>0,(√a-√b)>0，则(a√a+b√b)-(a√b+b√a)>0即(a√a+b√b)>(a√b+b√a)
当a=b时 ,(a-b)=0,(√a-√b)=0，则(a√a+b√b)-(a√b+b√a)=0即(a√a+b√b)=(a√b+b√a)
当a<b时 ,(a-b)<0,(√a-√b)<0，则(a√a+b√b)-(a√b+b√a)>0即(a√a+b√b)>(a√b+b√a)
综上所述得(a√a+b√b)≥(a√b+b√a)
所以(a/√b)+(b/√a)≥√a+√b

Answer 5

(a/√b)+(b/√a)-(√a+√b)=[(a-b)/√b]+[(b-a)/√a]=(a-b)[1/√b-1/√a]>0
所以左>右