Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为(1,3)若函数g(x)=xf(x)无极值，求实数a的取值范围

求解题过程！~

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c，f(x)>-2x的解集为(1,3），即f(x)=2x的解为1,3 (a<0)
所以a+b+c=-1, 9a+3b+c=-6，求得b= - 4a-4 ,c=3a，所以f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
g(x)=xf(x)=ax^3-(4a+2)x^2+3ax 无极值, 也就是g'(x)=3ax^2-2(4a+2)x+3a=0无解
因为(a<0)，所以▽<0
▽=4(4a+2)^2-4*3a*3a=4(4a+2)^2-36a^2 < 0
解得-2<a<-2/7

追问

a+b+c=-1, 9a+3b+c=-6
我想问一下，这一个步骤的 -1 ，-6 怎么得到的

追答

f(x)=-2x的解为1,3，把这两个解带入，等式右边-2x就是-2 -6

追问

照你这么说是不是得按我写的这样改啊（见图）
你能改下吗？答案...

追答

a+b+c=-2, 9a+3b+c=-6
后面的是我失误，你按照这个算就对了

追问

g(x)=xf(x)=ax^3-(4a+2)x^2+3ax 无极值,【 也就是g'(x)=3ax^2-2(4a+2)x+3a=0无解】
也就是 后面那部分怎么退出来的.........

追答

二次函数无解，而且a<0，所以得到▽<0

追问

我是问这条式子怎么得到的...

追答

二次函数无解，而且a<0，所以得到▽<0 ，这是规定的！根据定理得到的，你是不是要我把一个一个定理证明给你看啊。

追问

不是啊！~我是问,【 也就是g'(x)=3ax^2-2(4a+2)x+3a=0无解】
这个怎么得到的...就这个步骤

追答

g(x)无极值，说明它的导数g'(x)要么恒大于0，要么恒小于0，也就是说不等于0

追问

不是不是！~
我知道啦...就是对g（x）进行求导！！！！

追答

是的！