Question

如图四棱锥p-ABCD中，底面ABCD，是矩形，PA⊥底面ABCD，PA= AB=√2，点E是棱PB的 中点，证明PB⊥平面PBC

是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。

Answer 1

方法一：
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB。
由BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A，得：BC⊥平面PAB，而AE在平面PAB上，∴AE⊥BC。
∵PA＝AB、PE＝BE，∴AE⊥PB。
由AE⊥BC、AE⊥PB、BC∩PB＝B，得：AE⊥平面PBC。

方法二：向量证法［这种方法比上面的方法的书写量要多一些］
∵PA⊥平面ABCD，∴向量AP⊥向量BC，向量AP⊥向量AB，
∴向量AP·向量BC＝0，向量AP·向量AB＝0。
又ABCD是正方形，∴向量AB⊥向量BC，∴向量AB·向量BC＝0。

过E作EF∥BA交PA于F，作EG∥PA交AB于G。
∵PE＝BE，∴AF＝AP/2，AG＝AB/2。
由平行四边形法则，有：向量AE＝向量AF＋向量AG＝（1/2）向量AP＋（1/2）向量AB。
又向量PB＝向量AB－向量AP。

∴向量AE·向量PB
＝（1/2）向量AP·向量AB－（1/2）｜AP｜^2＋（1/2）｜AB｜^2－（1/2）向量AB·向量AP
＝（1/2）（｜AP｜^2－｜AB｜^2）
而AP＝AB，∴向量AE·向量PB＝0，∴AE⊥PB。

向量AE·向量BC＝（1/2）AP·向量BC＋（1/2）向量AB·向量BC＝0＋0＝0，∴AE⊥BC。

由AE⊥PB、AE⊥BC、PB∩BC＝B，得：AE⊥平面PBC。