Question

请教高数问题

你好，在百度知道上看到一个题。。。求微分方程dx+xydy=y^2dx+ydy的通解.
其中有一步:
两端积分 ∫y/y^2-1dy=∫1/(x-1)dx
得 1/2lny^2-1=lnx-1+lnC

为什么∫1/(x-1)dx算出来是lnx-1+lnC???
您的回答是：

两边积分∫y/(y^2-1)dy＝∫1/(x-1)dx
得1/2×ln(y^2-1)＝ln(x-1)＋1/2lnC 我想请教为什么是1/2lnC？我做题老是把握不准C

Answer 1

这里是一个常数，写成什么无所谓，+C当然可以。
这里的1/2lnC无非就是凑成这么个形式，不这么写完全可以。
你看C只要能娶到各种值就好，你比较一下，C和1/2lnC，他们俩的值域完全相同。

Answer 2

后面的任意常数的形式是由前面的两个式子决定的。
两边积分后，左边出现1/2ln(y^2-1)，右边出现ln(x-1)，我们考虑的是把对数运算消去，这样可以不用限制x,y的取值范围，因为根据原题，x,y的取值是没有任何限制的。
所以，任意常数也写成对数的样子，这样消去对数运算后的式子就简洁多了。C可写成lnC，也可以写成1/2lnC，都可以。写成1/2lnC是考虑y出现在1/2ln(y^2-1)里面，方程两边同乘以2后再消去对数运算，这样y就不用出现根号下。
总之，目的是为了让最后得到的通解的式子简洁，且y的取值范围尽量不受限制，或受到的限制更小。