Question

一道初三的数学题，求解

如图一直抛物线经过A（3，0），B，C , 三点，且tan∠CBO=1/3，OA=3OC，点D为抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式（2）点P为抛物线上的一点，且满足S△APC：S△ACD=5：4，求点P的坐标（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得点M到B,C两点的距离和最小，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

由A（3，0），B，C , 三点，且tan∠CBO=1/3，OA=3OC得B（0，-3）C（-1，0）,
A（3，0），
代入Y＝ax方+bx+c得（1）代入B（0，-3）得c=-3;
(2)代入A（3，0），9a+3b-3=0
(3)代入C（-1，0）,a-b-3=0 *3得3a-3b-9=0(4)
(2)+(4)得：12a-12=0, a=1 代入（3）得1-b-3=0, b=-2
则解析式为Y＝x方-2x-3
D点坐标为（1，-4）则S△ACD＝1/2*4*3＝6
因为S△APC：S△ACD=5：4 得S△APC：6=5：4，得S△APC＝15/2，则高＝（15/2）/（1/2*4)=15/4,即P点的纵坐标，由图像得，满足条件有四个，Y＝-15/4两个，Y＝15/4两个，代入解析式得P1（1+根号31/2，15/4）P2（1+根号31/2，15/4），P3（3/2，15/4）P4（1/2，15/4）

（3）由图像可知M距离AB最小为AB的距离，设AB直线解析式为Y＝KX+b代入A，B得K＝1,b=-3则解析式为Y＝X-3，对称轴为X＝1，代入得Y＝-2，则M点的座标为（1，-2）

终于作完了，不好打字，就这样吧