Question

已知-1<X+Y<4且2<X-Y<3，则z=2X-3y的取值范围是？

求过程

Answer 1

这个用直角坐标系做比较方便，画图就好了，有点像初中的线性规划。先由已知条件画出一个取值范围：
首先，拿出你的纸笔，在纸上画出一个直角坐标系，然后画出x+y=-1和x+y=4两条平行直线，然后继续画出x-y=2和x-y=3两条平行直线，两条直线围成的平行四边形H就是我们的范围了（由条件-1<X+Y<4且2<X-Y<3得到，后面的直线平移过程中必须经过平行四边形H内的一点），接下来在同一个坐标系上画出2x-3y=0这条直线，然后向上平移，当它平移至我们原先得到的平行四边形H的最偏上的一个顶点（3,1）时，它与y轴的交点的取值最小（也就是题中的z值最小），取值为3；接着向下平移，当它平移至我们原先得到的平行四边形H的最偏下的一个顶点（1,-2）时，它与y轴的交点的取值最大（也就是题中的z值最大），取值为8。所以，3<z<8。

Answer 2

把X+Y和X-Y看成两个基本量，则Z=2X-3Y可变形为Z=-0.5（X+Y）+2.5（X-Y），由X+Y和X-Y的取值范围可知，-2＜-0.5（X+Y）＜0.5, 5＜2.5（X-Y）＜7.5，由此得，Z=2X-3Y的范围为3＜Z＜8

Answer 3

设m（X+Y）+n（X-Y）=2X-3Y
则：（m+n）X+（m-n)Y=2X-3Y
∴m+n=2
m-n=-3
∴m=-½，n=2.5
1x0.5＞-0.5（X+Y）＞-4x0.5
2x2.5＜2.5（X-Y）＜3x2.5
相加可得3＜z＜8