Question

已知函数f(x)=lg(x+1).1),若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围,2)

2),若g(x)满足g(x+2)=g(x),且当0《x《1时,有g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x属于[-2,-1])的解析式

Answer 1

1）f(1-2x)-f(x)=lg(-2x)-lg(x+1)=lg(1-x)范围是(0,1),那么1-x范围是（1,10），x范围是（-9,0）。
2）g（x）是以2为周期的且在[0,1]解析式为lg（x+1）的周期函数。x属于[-2,-1]时，x+2属于[0,1]的，所以g（x）=g（x+2）=lg（x+2+1）=lg(x+3).

Answer 2

f(x)=lg(x+1)
f(1+2x)=lg(1+2x+1)=lg(2x+2)
首先看定义域
x+1>0
那么x>-1
所以f(1+2x)-f(x)=lg(2x+2)-lg(x+1)=lg[(2x+2)/(x+1)]=lg2
因为0<lg2<1
所以对任意x>-1都有0<f(1+2x)-f(x)<1成立
所以x的取值范围是{x|x>-1}

Answer 3

(1)0<f(1-2x)-f(x)<1
0<lg(1-2x+1)-lg(x+1)<1,1-2x+1>0,x+1>0,(-1<x<1)
10^0<(1-2x+1)/(x+1)<10^1
1/2<(1-x)/(1+x)<5
1/2<2/(1+x)-1<5
3/2<2/(1+x)<6
1/3<1+x<4/3
-2/3<x<1/3
(2)g(x+2)=g(x),g(x)为周期函数T=2
0=<x<=1,g(x)=lg(x+1)
-2=<x-2<=1,g(x-2）=g(x)=lg(x+1)，
即，-2=<t<=1,g(t）=g(t+2)=lg(t+2+1)，
所以，y=g(x)=lg(x+3),x属于[-2,-1]