Question

函数fx =lg (x +1)   若0<f(1-2x)-f(x)<1 求x的取值范围

若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0《X《1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x属于闭区间1到2）的解析式

Answer 1

当函数f(x) =lg(x +1)，(1) 若0<f(1-2x)-f(x)<1 求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤X≤1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x)(x∈[1，2])的解析式.

解：(1) 若0<f(1-2x)-f(x)<1 ，即0<lg(1-2x+1)-lg (x +1)<1 ------@
当lg (x +1)=0即x=0，带入@得，0<lg2<1，符合要求，即x=0是@的解；

当lg (x +1)≠0即x≠0时，@变成0<lg[(2-2x)/ (x +1)]<1及1-2x+1>0及x +1>0，解得x∈(-2/3，0)∪(0,1/3）；综上所述，x的取值范围x∈(-2/3,1/3)；

(2)当0≤X≤1时，有g(x)=f(x)=lg (x +1)；当-1≤X≤0时，0≤-X≤1，g(x)=g(-x)=f(-x)=lg (-x +1)；

当1≤X≤2时，-1≤X-2≤0，g(x)=g(X-2)=lg(-(X-2)+1)=lg(3-X)；所以，函数y=g(x)(x∈[1，2])的解析式g(x)=lg(3-X).

Answer 2

(1)函数替换，对数运算公式应用，不等式计算
f(1-2x)=lg( (1-2x) +1) = lg(2-2x)
f(1-2x)-f(x) =lg (2-2x) - lg(x+1) = lg( (2-2x)/(x+1)
0<f(1-2x)-f(x)<1
则 1<(2-2x)/(x+1)<10, 解得 1/12<x< 1/3
(2)根据偶函数g(-x)=g(x) -1<x<0，周期性g(x+2)=g(x)作些换算处理。

Answer 3

①:由x+1>0,1-2x>0,x>0得0<x<1/2:f(1-2x)-f(x)=f[(1-2x)/x],0<f[(1-2x)/x]<1,即1<(1-2x)/x<10,得x<1/12。综上所述0<x<12.
②偶函数是f(x)=f(-x),因为g(X)是周期为2的函数，所以x在[0,2]是为一个周期，对称轴是x=1,又x在[0,1]期间g(x)=f(x),所以x在区间[1,2]，y=g(-x)=f(-x)=lg(-x+1)。