Question

高中 不等式 已知 a,b,c均为正数。证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3

高中 不等式 已知 a,b,c均为正数。证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,
并确定a,b,c 为何值时，等号成立。
顺便 引导一下这类题的思路 做法 谢谢。

Answer 1

设 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2.

最小值发生在其对a，b，c的导数均为零的时候。
对a求导数（把b和c当成无关常数），可得
F'_a (a,b,c) = 2a - 2(1/a + 1/b + 1/c) (1/a^2) =0.
整理，可得 a^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0. .. (1)
同理分别对b和c求导数，得
b^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0. .... (2)
c^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0. ... (3)

所以，a=b=c。代入(1)，可得，a^3 - 3/a=0，所以a=b=c=3^(1/4).
这是，可求得 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 = 6√3。

由于这是极小值，所以 a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 >= 6√3。
a=b=c=3^(1/4) 时取等号。

追问

只能求导吗？

追答

可能还有别的方法吧。这只是我想到的。

Answer 2

a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 =a^2 + b^2 +c^2 +1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca
= 3/a^2 + 2/ab + 3/b^2 +a^2/3 + b^2/3
+ 3/b^2 + 2/bc + 3/c^2+b^2/3 + c^2/3
+ 3/c^2 + 2/ca + 3/c^2+c^2/3 + a^2/3
由于a,b,c的对称性，我们只要能求出3/a^2 + 2/ab + 3/b^2 +a^2/3 + b^2/3的极值即可，最终结果是这个极值的3倍
3/a^2 + 2/ab + 3/b^2 +a^2/3 + b^2/3 = 1/a^2 + 1/a^2 + 1/a^2 + 1/ab + 1/ab + 1/b^2 + 1/b^2 + 1/b^2 + a^2/12 + a^2 /12 + a^2/12 + a^2/12 + b^2/12 + b^2/12 + b^2/12+b^2/12
>= 12 * 12次根号(1/12^8) = 3次根号(12)
所以极值似乎等于3 * 3次根号12
取得极值的条件是a=b=c, 且1/a^2=a^2/12 => a= 四次根号12

Answer 3

官方的股份大概