Question

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称，而当x∈[2,3]时g(x)=-x^2+4x+c

c为常数。
(1)求f(x)的表达式；
(2)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1不等于x2,求证|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|
(3)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1不等于x2,求证|f(x2)-f(x1)|<=1
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Answer 1

1)g(x)=-(x-2)^2+4+c x∈[2,3] 对称轴为x=2,g(x)关于x=1对称的f(x)=-x^2+4+c x∈(0,1]由于f(x)在 [-1，1]是奇函数，在[-1，0），f(x)=x^2-c-4.也因f(x)是奇函数，f(0)=0,g(2)=0,c= -4
综合上述，f(x)=x^2, x∈[-1,0],
f(x)=-x^2 ,x∈(0,1],
2)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1不等于x2, 0<x1+x2<2,x2-x1不等于0
|f(x2)-f(x1)|=|x2+x1||x2-x1|<2|x2-x1|
3)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1不等于x2,不妨设x1<x2,则-1<f(x1)<=0,-1<=f(x2)<0,
|f(x2)-f(x1)|<=1,当f(x1)=0,f(x2)=1时，取等号