Question

设函数f(x)=(x-k)^2e^(x/k)

(1)求f(x)的单调区间
（2）若对于任意的x属于（0，正无穷），都有f(x)<=1/e,求k的取值范围

Answer 1

(1)f‘(x)=2(X-K)*e^(x/k)+(x-k)²*e^(x/k)/K
=(x²/k-k)e^(x/k)
后面e^(x/k)恒大于0的
x²/k-k=0 x=±k
①若k>0
x²/k-k>0⇒|X|>K
此时
f(X)在(-∞,-K)U(K,+∞)上是增函数
f(X)在[-K，K]上是减函数
②若k<0
x²/k-k>0⇒|X|<-K
此时
f(X)在(k，-k)上是增函数
f(X)在(-∞,K)U(-K,+∞)上是减函数

(2)k>0的时候
上面已经讨论f(X)在(-∞,-K)U(K,+∞)上是增函数
在这个区间不可能存在最大值
所以k<0
这时候
f(X)在(k，-k)上是增函数
f(X)在(-∞,K)U(-K,+∞)上是减函数
所以正数部分f(x)在-k处取得极大值
只要这个极大值都小于等于1/e，就符合题意
带入-k于原函数
f(-k)=4k²×e^(-1)≤1/e
4k²≤1⇒|k|<1/2
又k<0
所以k∈[-1/2,0)

Answer 2

(1)、f(x)的导数是：f'(x)=2(x-k)e^(x/k)+[(x-k)^2e^(x/k)]/k
由f'(x)>0和f'(x)<0解得：
当k>0时：单调增区间为：（-∞,-k)∪(k,+∞)，单调减区间为：（-k,k)；
当k<0时：单调增区间为：（k,-k)，单调减区间为：（-∞,k)∪(-k,+∞)；
（2）、先根据f(x)的单调区间求出f(x)在（0，正无穷）的最大值，在用这个最大值<=1/e，解不等式。
提示：当当k>0时，f(x)的最大值为无穷大，不合题意，故k<0。最大值为f(-k)=4k^2/e<=1/e
结果为-1/2≤k≤1/2，结合k<0，k的取值范围为（-1/2,0）