Question

设f(x)=x^3+ax^2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b属于R

(1)求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；
（2）设g(x)=f'(x）e^(-x),求函数g(x）的极值

Answer 1

f'(x) = 3x^2+2ax+b
因为f'(1)=2a,f'(2)=-b，把当 x=1和x=2分别代入上式则
3 + 2a +b =2a , 12+4a + b = -b,求出 b = -3, a = - 3/2
f(x)=x^3 - 3/2x^2 - 3x +1
(1) 曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线斜率为f'(1)=2a=-3
f(1) = -5/2
y + 5/2 = -3(x - 1)

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b 由f'(1)=2a,f'(2)=-b 解得a=-3/2 b=-3
f(x)=x^3-3/2x^2-3x+1
(1)切线斜率为f'(1)=2a=-3 点（1，f(1))即（1，-5/2） 切线方程为y+5/2=-3(x-1)
(2)g(x)=f'(x）e^(-x)=(3x^2-3x-3)e^(-x)
g'(x)=(6x-3)e^(-x)-(3x^2-3x-3)e^(-x)=e^(-x)(9x-3x^2)
令g'(x)=0 即9x-3x^2=0 得x=0或x=3 代入可求得极值

Answer 3

谢谢