Question

梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，EF=DE，连结BF,CD,AC,若DE的平方=BE.CE

求证：四边形ABFC是矩形？

Answer 1

如图所示，

因为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC

所以∠ABC=∠DCB，AB=DC

又因为DE⊥BC，EF=DE

可得△CDE≌△CFE

所以CF=CD=AB

∠FCE=∠DCE=∠ABC

所以AB∥CF

所以四边形ABFC为平行四边形

因为DE的平方=BE.CE

即EF的平方=BE.CE

根据投影定理可得BFC=90°

所以平行四边形ABFC是矩形

Answer 2

因为DE的平方=BE.CE 所以三角形BDC为直角三角形 因为EF=DE 所以三角形BFC也为直角三角形
并且三角形BDC全等于三角形BFC 由于梯形ABCD为等腰梯形，所以三角形BAC于三角形BDC及
三角形BFC 全等。故角BCA=角CBF 所以BF∥AC 在四边形ABFC中角BDA=90度，角BFC=90度,并且对边平行且相等，所以四边形ABFC是矩形。