Question

如图,△BDE是等边三角形,点A在BE的延长线A在BE的延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC,求证:DE+DC=AE

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Answer 1

延长DC至F，使CF=BD,连接AF,
因为AD=AC,所以∠ADC=∠ACD,所以∠ADB=∠ACF,
所以△ABD全等于△AFC(SAS),
则AB=AF,∠ABF=60°，所以△ABF是等边△，
所以AB=BF,因为CF=BD=DE=EB
所以AE=BC=BD+DC=DE+DC

Answer 2

过A做DC的垂线，交DC于G，过D做AG的平行线交AB于F,则,FD垂直BD
在RT三角形BDF中,因,△BDE是等边三角形，所以∠BFD等于30°，BE=ED=EF
过D做AB的平行线交AG于M，则AFDM为平行四边形，AF=DM
∠MDG=∠B=60°，∠DMG=30°，DG=1/2DM，而DG=1/2DC,所以DM=DC
AE=EF+FA=ED+DM=ED+DC

Answer 3

证明：在BC的延长线上取点F，使CF＝BD，连接AF
∵等边△BDE
∴∠B＝60,BE＝BD＝DE
∵AD＝AC
∴∠ADF＝∠ACB
∵BC＝BD+CD，FD＝CF+CD，BD＝CF
∴BC＝FD
∴△ABC≌△AFD （SAS）
∴∠F＝∠B＝60
∴等边△ABF
∴AB＝BF
∵BF＝BD+FD，AB＝BE+AE
∴FD＝AE
又∵CF＝BD，BD＝BE
∴CF＝DE
∵FD＝CF+CD，
∴FD＝DE+CD
∴AE＝DE+CD