Question

大学数学线性代数的问题，自由变量的选取

如题。Ax=0，求A的通解。
将A的系数矩阵高斯消元成最简矩阵之后，如何选取自由变量？是每行第一个不为零的变量吗？自由变量的选取是唯一的吗？
我看参考书上有一种方法：将每一列分别消去，如果消去之后矩阵的秩=原系数矩阵的秩，那么这一列的变量就可以是自由变量。
这种方法的原理是什么？

Answer 1

给你举一个简单的例子，方程组x+y=1,y+z=1,那么如果选择用x表示该线性方程组的解就是x=x.y=1-x,z=x,如果用y表示其解，那就是x=1-y,y=y,z=1-y,同样用z表示法类似；那么上述解得坐标形式分别就是

（0，1，0）^T+x(1,-1,1)^T,（1，0，1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意。这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取，以使其基础解析尽量为整数解，
比如说2x+3y=0，一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析。
对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵，而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法。此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0
x2+x3+...+xn=0.......,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数。这就是通解，所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵。当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解，只不过这样解是万能的。希望楼主能理解！能采纳！