Question

这一题奇偶性怎么做？定义在R上的奇函数f(x）和g(x)，满足F(x)=af(x)+bg(x)+2

定义在R上的奇函数f(x）和g(x)，满足F(x)=af(x)+bg(x)+2，且F(x)在区间(0,正无穷)上的最大值是5，则F(x)在(负无穷，0)上的最小值是？
要详细过程哦

Answer 1

F(x)=af(x)+bg(x)+2≤5
af(x)+bg(x)≤3 x∈(0,+∞)
af(-x)+bg(-x) = -af(x)-bg(x)=-[af(x)+bg(x)] ≥-3
F(-x)=af-(x)+bg(-x)+2 = -af(x)-bg(x)+2 ≥-3+2=-1
所以求F(x)在(-∞，0)上的最小值 为-1

Answer 2

f(x)和g(x)为定义在R上的奇函数，故f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，于是
G(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x)=-[af(x)+bg(x)]=-G(x)，即G(x)为定义在R上的奇函数；
又F(x)=af(x)+bg(x)+2，且F(x)在区间(0,正无穷)上的最大值是5，所以G(x)在区间(0,正无穷)上的最大值是3，进而可得G(x)在区间(负无穷，0)上的最小值是-3，因此F(x)=af(x)+bg(x)+2在(负无穷，0)上的最小值-1。