先用分部积分
∫x·arccosx dx
=x²/2·arccosx-∫x²/2·[-1/√(1-x²)] dx
=x²/2·arccosx+1/2 ∫x²/√(1-x²) dx
下面求 ∫x²/√(1-x²) dx
令sint=x，则dx=cost dt
∫x²/√(1-x²) dx
=∫sin²t/cost ·costdt
=∫sin²t dt
=∫(1-cos2t)/2 dt
=t-1/4·sin2t+C
=arcsinx-1/2·x√(1-x²)+C
∴ ∫x·arccosx dx=x²/2·arccosx+1/2·arcsinx-1/4·x√(1-x²)+C
扩展资料：
定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
xarccosx的不定积分是x²/2·arccosx+1/2·arcsinx-1/4·x√(1-x²)+C。
令arccosx=t,则x=cost,dx=-sint dt
∫x·arccosx dx
=∫cost·t·(-sint)dt
=-1/2∫sin2t·t dt
=-1/2[(-cos2t)/2·t+1/2∫cos2tdt]
=-1/2[(-cos2t)/2·t+1/4·sin2t]+C
=1/4·cos2t·t-1/8·sint2t+C
=x²/2·arccosx+1/2·arcsinx-1/4·x√(1-x²)+C
所以xarccosx的不定积分是x²/2·arccosx+1/2·arcsinx-1/4·x√(1-x²)+C。
扩展资料：
分部积分法的形式
（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。
例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)
=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx
（2）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C。
=xarccosx-(xarccosx-∫xd(arccosx))
=-∫xdx/√(1-x²)
=-(1/2)∫d(1-x²)/√(1-x²)
=-(1/2)∫[(1-x²)^(-1/2)]d(1-x²)
= -√(1-x²)+C
