Question

若函数f(x)=x^3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是

若函数f(x)=x^3-3x+a有3个不同的零点，由此可以得到什么结论？
请详细说明，谢谢!
请画图像，加以说明！

Answer 1

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)
得极值点为x=1,-1
f(1)=1-3+a=a-2为极小值点
f(-1)=-1+3+a=a+2为极大值点
f(x)有3个不同零点，则必须f(1)<0,f(-1)>0
即-2<a<2

追问

why
f(x)有3个不同零点，则必须f(1)0

追答

这是三次函数，图形为一个峰（极大值），一个谷（极小值）
要使其有3个不同零点，则峰应该大于0，谷应该小于0.画一下图就好理解了。

Answer 2

f‘(x)=3x^2-3 当f‘(x)=0时 x=1或-1 当函数有三个零点时 f(1)与f(-1)异号 f(1)=1-3+a=-2+a f(-1)=-1+3+a=2+a 因为 f(1)与f(-1)异号 所以 f(1) *f(-1)小于零 所以(-2+a) *(2+a)=a^2-4小于0所以a大于-2小于2

Answer 3

对f(x)求导，由于有三个零点，画图像可知f(-1)>0,f(1)<0,从而可求得a的取值范围

追问

可是，图像该怎么画呢?