Question

(1)已知函数f(x)=log2(4^x+1)-x.判断F(x)在【0，+∞）上的单调性并证明

(1)已知函数f(x)=log2(4^x+1)-x.判断F(x)在【0，+∞）上的单调性并证明 (

2）设函数g(x)=log2(a·2x次方-3分之4a),其中a>0,若函数f(x)与g(x)有且只有一个公共点，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=ln(4^x+1)/ln2-x,
f'(x)=1/[(4^x+1)ln2]*(4^x*ln4)-1=2*4^x/(4^x+1)-1=(4^x-1)/(4^x+1),
x>0时4^x>1,f'(x)>0,
∴f(x)在[0,+∞）上是增函数。
(2)u=a*2^x-4a/3(a>0)是增函数，
由u>0得2^x>4/3,x>log<2>(4/3).
由f(x)=g(x)得log<2>u-log<2>(4^x+1)=x,
log<2>[u/(4^x+1)]=x,设t=2^x,则u/(4^x+1)=a(t-4/3)/(t^2+1)=t>4/3,
∴a=(t^3+t)/(t-4/3)(t>4/3),
∴a'=[(3t^2+1)(t-4/3)-(t^3+t)]/(t-4/3)^2
=(2t^3-4t^2-4/3)/(t-4/3)^2,繁！
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