Question

若函数F(X)=x^2+2x+aInx在(0,1)上单调递减,则实数a的取值范围是

Answer 1

你好，过程如下
f"x=2x+2+a/x<0 (x>0),所以两边同时乘以x来化简得
2x^+2x+a<0,所以a<-2x^2-2x
令gx=-2x^2-2x,所以求gx在（0,1）上的最小值，a小于最小值即可
所以对gx求导，可知在（0,1）上最小值是x=1时候，此时gx最小值是-4
所以，a<-4

追问

那可答案中只有a<=-4这个选项呀

追答

等于-4也可以。你把我的过程中小于都改成小于等于即可。等号也包括在内，属于边界条件，也满足，我忘记加上了。抱歉！

Answer 2

f'(x)=2x+2+a/x,因为f(x)在(0,1)上单调递减,则有f'(x)<0在(0,1)上成立,[f'(x)=0,当x=0,1时是可能的]
即f'(x)≤0在[0,1]上恒成立,(此时必有a<0),所以f''(x)=2-a/x^2>0
所以f'(x)在(0,1)上单调递增,所以只需f'(1)≤0,所以a≤-4

Answer 3

求导 得2x +2 +a/x<0 在x属于（0,1）上恒成立即 ，2x^2+2x+a<0 在x属于（0,1）上恒成立因为抛物线开口向上，所以要保证恒小于0的话，只有 F（0）<0 且F(1)<0，解不等式就可以得到结论

Answer 4

由题意F'(X)=2x+2+a/X≤0在(0,1)上恒成立。等价于-（2x^2+2x）≥a在(0,1)上恒成立。问题就转化为[-（2x^2+2x)]在(0,1)上的最小值。容易求得最小值为-1.5.所以a≤-1.5.

Answer 5

你好，过程如下
f"x=2x+2+a/x<0
(x>0),所以两边同时乘以x来化简得
2x^+2x+a<0,所以a<-2x^2-2x
令gx=-2x^2-2x,所以求gx在（0,1）上的最小值，a小于最小值即可
所以对gx求导，可知在（0,1）上最小值是x=1时候，此时gx最小值是-4
所以，a<-4