Question

高等数学 关于梯度的定义推导

如图所示，等值线的斜率知道了为上面的式子，但是是怎么得出下面的法线向量的，，，，，，，，，，，

Answer 1

在平面几何中，平面直线的方程中习惯用斜率的说法，如果与空间直线的方程的写法统一起来，平面直线也引入方向向量的写法，就是(1,y')。与切线垂直的法线的方向向量就是(1,-1/y')。

推导一下就是：设方程f(x,y)=k决定的隐函数是y=y(x)，则等值线的参数方程可写作：x=x，y=y(x)。切线的方向向量是(1,y')=(1,-fx/fy)=(fy,-fx)/fy，法线的方向向量与切线的方向向量垂直，可写作(fx,fy)。

追问

（1，y'）我知道可以这样写，图片上就是这样写的，我想问为什么可以这样写，这样写是怎么做到表示出曲线上某一点斜率的方向向量。。。 还有在问你一下你二维向量的单位向量怎么算比如上面的图片 法向量为fx fy 怎么表示出他的单位法向量。。。。。谢谢

追答

平面曲线的方程可以是隐函数的形式f(x,y)=0，也可以是参数方程的形式：假设f(x,y)=0确定的隐函数是y=y(x)，则曲线的参数方程是x=x,y=y(x)，书上说过了，切线的方向向量是(dx/dx,dy/dx)=(1,y')。

Answer 2

好难哦，不会