Question

对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你理由

当实数m是什么值时,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩形C的m倍?证明你的结论。

Answer 1

因为字体显示问题，下面计算过程中字母或括号后边接数字2表示平方，
如：l2、A2、n2、(1+n)2
1、假设已知矩形c的长宽为a、b，则周长l=2a+2b，s=a×b；
2、假设要求矩形C的长宽为A、B，则周长L=2A+2B，S=A×B；
3、已知：L=2A+2B=2l=2（2a+2b），S=A×B=2s=2（a×b）
4、再假设A、B存在一个关系B=nA；
根据3、4可得：A=l/(1+n)，B=2s/A，现在的关键就是求出n；
A×B=2s，则nA2=2s ①；
2A+2B=2l，则A+nA=(1+n)A=l，两边平方得（1+n）2A2=l2 ②；
①/②得:n/(1+n)2=2s/l2；由此得：l2n=2s(1+n)2，整理得：
2sn2+(4s-l2)n+2s=0，此式为典型的一元二次方程，只不过把x换做了n，采用求根公式x1=[-b+sqrt(b2-4ac)]/(2a)，x2=[-b-sqrt(b2-4ac)]/(2a)，式中sqrt（......）表示对括号中数据开根号，b=(4s-l2)；a=2s；c=2s；带入数据得：
n1=[-(4s-l2)+sqrt((4s-l2)2-4×2s×2s)]/(2×2s），
n2=[-(4s-l2)-sqrt((4s-l2)2-4×2s×2s)]/(2×2s），
求得n1和n2，又已知面积S=A×B=2s=2（a×b）且B=nA，那么很容易的就得出nA2=2s，所以A=sqrt(2s/n)；B=nA
经过计算发现，虽然n的解有两个，但实际矩形只存在一个，因为两个解分别代入计算的出的矩形尺寸相同，只不过是A、B边对调而已，下面是我随机取数计算的几个结果，你不妨验证一下（计算时n、A、B小数点数位要取得足够长才行，不然数据会有小偏差）：
a b s l A B S=2s L=2l
5 3 15 16 2.1690481052 13.830951895 30 32
12 34 408 92 9.9444872454 82.055512755 816 184
1.8 4.2 7.56 12 1.4305361365 10.569463864 15.12 24

Answer 2

对周长固定的长方形（设周长为C）其面积可以无限趋于0(这点易证)
其最大面积为同周长的正方形的面积，即Smax=c²/16
对周长为mc的长方形，其最大面积为Smax=m²c²/16
且矩形的面积可取得介于最大值和最小值之间的任何数。
易知为满足题意m需满足
（m²c²/16）/(c²/16)=m²≥m
得m≥1

Answer 3

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/cvb.png

Answer 4

对于周长固定的长方形（设周长为C）其面积可以无限趋于0(这点易证)
其最大面积为同周长的正方形的面积，即Smax=c²/16
对周长为mc的长方形，其最大面积为Smax=m²c²/16
易知为满足题意m需满足
（m²c²/16）/(c²/16)=m²≥m
得m≥1