Question

已知两实数x,y满足x^2+y^2=1,求y+2/x+1的取值范围

Answer 1

你好：

k=(y+2)/(x+1)
所以k就是过点(-1,-2)的直线的斜率
x，y满足x^2+y^2=1
所以就是求过点(-1,-2)的直线和单位圆有公共点是斜率的取值范围
显然相切时有最值
y+2=kx+k
kx-y+k-2=0
相切责圆心到直线距离等于半径
所以|0-0+k-2|/√(k^2+1)=1
|k-2|=√(k^2+1)
k^2-4k+4=k^2+1
k=3/4

还有一条切线是x=-1，因为(0,0)到x=-1半径
此时k不存在，即无穷大
所以k>=3/4
(y+2)/(x+1)>=3/4

追问

圆不是x^2+y^2=1嘛，圆心（0，0）半径1，那（-2，-1）到圆上点的连线有一条是y=-1啊，还有一条是k等于3/4的。那最大值就是3/4啊
为什么不对呢？

追答

您的错在于把(-1,-2)看成了(-2,-1)
"(-2,-1)到圆上点的连线有一条是y = -1"
不是(-2,-1)，是(-1,-2)，因此另一条切线不是y = -1，而是x = -1
x = -1时k是无穷大的

所以最大值是无穷大，即没有最大值

Answer 2

解：
令x=cosa，y=sina
令(y+2)/(x+1)=A
Ax+A=y+2
Acosa-sina=2-A
√(A²+1)cos(a-b)=2-A 其中tanb=-A
cos(a-b)=(2-A)/√(A²+1)
-1≤cos(a-b)≤1
-1≤(2-A)/√(A²+1)≤1
0≤(A-2)²/(A²+1)≤1
(A-2)²/(A²+1)≤1
整理，得
4A≥3
A≥3/4
(A-2)²/(A²+1)≥0 A取任意实数。
综上，得A≥3/4
A的取值范围为[3/4，+∞)

Answer 3

用图像分析可能有用，设y+2/x+1=k，化简后得一个圆和一个直线，大概吧......希望能帮到你