Question

已知a,b,c都是正数，且a+b+c=1

1.求证 a^2+b^2+c^2>=1/3
2. 求(1-c)/(a+1 )的取值范围

Answer 1

如果您认可我的回答，请及时点击右下角的【满意】按钮或点击“采纳为满意答案”,祝学习进步！

证明：由a^2+b^2≥2ab
              b^2+c^2≥2bc
              a^2+c^2≥2ac
三个式子加起来得2(a^2+b^2+c^2)≥2ab+2bc+2ac
在两边同时加上a^2+b^2+c^2得3(a^2+b^2+c^2)≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac  （*)
由a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2=1
所以（*)得a^2+b^2+c^2>=1/3即证
当a=b=c=1/3时取等号。

(2)

1-c=a+b

∴ (1-c)/(2a+1)

 =(a+b)/(2a+1)

=(a+1/2+b-1/2)/(2a+1)

=(a+1/2)/(2a+1)+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)

=1/2+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)

则a>0,b>0,a+b<1

在a-O-b坐标系中，t=(b-1/2)/(a+1/2)的几何意义是(a,b)与(-1/2,1/2)连线的斜率

A(0,1),B(1,0),C(-1/2,1/2)

∴ k(CO)=-1,k(CA)=1

∴ -1<t<1

∴ 1/2+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)∈(0,1)

即(1-c)/(2a+1)的取值范围是(0,1)