Question

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)<1.求证方程2x-∫上限x下限0f(t)dt=1在(0，

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)<1.求证方程2x-∫上限x下限0f(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根.我知道用零点定理就是不知道怎么证明1的时候大于0，求教！

Answer 1

证明：记 F(x)=2x-∫[0，x] f(t) dt -1=∫[0，x](2-f(t))dt-1 ，
由于 f(x)<1 ，因此 2-f(t)>0 ，所以，F(x) 在 [0，1] 上为增函数，

由于 F(0)= -1<0 ，F(1)=∫[0，1](2-f(t))dt-1>∫[0，1](2-1)dt-1=1-1=0 ，
因此 F(x) 在（0，1）内有惟一实根，
即 2x-∫[0，x] f(t)dt=1 在（0，1）内有惟一实根。

追问

由于 f(x)0 ，所以，F(x) 在 [0，1] 上为增函数。这是为什么？还有那个2X可以这样放到那里面？

追答

被积函数为正数，因此当积分区间的上限增加时，积分值也增加（积分就是面积嘛）。
常数的积分等于常数乘以积分区间的长度，即 ∫[a，b] C dx=C(b-a) ，
把 a 换成 0 ，b 换成 x ，C 换成 2 ，就得 ∫[0，x] 2 dt=2x 。