Question

已知abc为正实数,满足a的平方=b(b+c),b的平方=c(c+a),求证a分之1+b分之1=c分之1

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Answer 1

a²=b(b+c) b²=c(c+a)
b²-c²=ac

a=(b²-c²)/c
(b²-c²)² /c²=b(b+c)
(b²-c²)²=c²b(b+c)
b⁴+c⁴-3b²c²-bc³=0
b²/c²+c²/b² -3-c/b=0
令c/b=k b=c/k
1/k²+k²-3-k=0
k⁴-k³-3k²+1=0 (k+1)(k³-2k²-k+1)=0

得k³-2k^2-k+1=0
a=(b²-c²)/c=(c²/k²-c²)/c=(c/k²-c)=c(1/k²-1)
所以1/a+1/b
1/c(1/k²-1) +k/c=1/c
1/(1/k²-1) +k=1
1/(1/k²-1)=1-k
1=(1-k)(1/k²-1)=(1-k)(1-k²)/k²
k²=1-k²-k+k³
k³-2k²-k+1=0 成立
所以1/a+1/b=1/c