Question

一道高一数学题！会的大仙请尽快告诉我，急用！在线等！！

知向量a的膜=根号2，向量b的膜=3，向量a与向量b的夹角为45度。求（1）当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时，λ的取值范围；（2）当λ=-2时，向量a+λb与λa+b的夹角的余弦值. 麻烦写一下过程，详细一点！谢谢！！详细的加分！

Answer 1

(1)
a²=2, b²=9,
ab=|a||b|cos45°=3
则向量a+λb与λa+b的夹角是钝角时有：
(a+λb)(λa+b)<0
则
λa²+(1+λ²)ab+λb²<0
3λ²+11λ+3<0
(-11-√85)/6<λ<(-11+√85)/6.

下面还需要去掉共线的情况：
向量a+λb与λa+b共线时，对应的系数比相等，
所以1/λ=1/λ，λ=±1.
λ=1时，同向共线，夹角为0°.
λ=-1时，反向共线，夹角为180°，不是钝角，应舍去。

综上可知：(-11-√85)/6<λ<(-11+√85)/6，且λ≠-1。

(2)
a²=2, b²=9,
ab=|a||b|cos45°=3
λ=-2时，
(a+λb)(λa+b)= λa²+(1+λ²)ab+λb²
= -2a²+5ab-2b²=-7.

(a+λb)^2=(a-2b)^2
=a^2-4ab+4b^2=26,
|a+λb|=√26.

(λa+b) ^2=(-2a+b)^2
=4a^2-4ab+b^2=5,
|a+λb|=√5.

所以向量a+λb与λa+b的夹角余弦是
(a+λb)(λa+b) /[|a+λb||a+λb|]
=-7/(√26*√5)= -7√130/130.

追问

写这么多，麻烦了！谢谢！！

Answer 2

依题意：a*b=|a||b|cos<a,b>=2*3cosπ/4=3√2。
(1). 设其夹角为θ，θ是钝角，则cosθ<0，则：(a+λb)(λa+b)=4λ+(1+λ^2)a*b+9λ=13λ+3√2(1+λ^2)=3√2λ^2+13λ+3√2<0，解之得：(-13-√97)/6√2<λ<(-13+√97)/6√2
(2). 当λ=-2时，(a+λb)(λa+b)= 3√2λ^2+13λ+3√2=152-26
|a+λb|=√(a+λb)^=√(4+2λa*b+9λ^2)=√(9λ^2+6√2λ+4)= √(40-12√2)
|λa+b|=√(4λ^2+6√2λ+9)= √(25-12√2)
cosθ=(a+λb)(λa+b)/ |a+λb||λa+b|=(15√2-26)/ [√(40-12√2)* √(25-12√2)]
【计算有些复杂，不知有没算错，思路是这样的了。】

追问

谢

Answer 3

(1)∵ab=|a||b|cos45°=3
∴向量a+λb与λa+b的夹角是钝角时有：
(a+λb)(λa+b)<0
λa^2+(1+λ^2)ab+λb^2<0
3λ^2+11λ+3<0
(-11-√85)/6<λ<(-11+√85)/6
向量a+λb与λa+b共线时，对应的系数比相等，
1/λ=1/λ，
λ=±1.
λ=1时，同向共线，夹角为0°，
λ=-1时，反向共线，夹角为180°.
所以(-11-√85)/6<λ<(-11+√85)/6，且λ=-1

(2)
你自己带进去可以了啦
向量a+λb与λa+b的夹角
=cosθ=(a+λb)(λa+b)/|a+λb||λa-b|

追问

谢