Question

如图，已知菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

1.

若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
2.若 ∠ABC=120°，BC=1，求BE的长。

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO平分∠AEC（三线合一），
∴∠AED=
1
2
∠AEC=
1
2
×60°=30°，
又∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角等于不相邻的两内角之和），
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=2∠ADO=90°，
∴平行四边形ABCD是正方形．

追问

2.若 ∠ABC=120°，BC=1，求BE的长。 就这个问题

追答

∠BOC=90°
BO=1/2BC=0.5
OC=√[1²-0.5²]=√3/2
AC=√3
OE=√[(√3)²﹣(√3/2)²]=3/2
BE=3/2+0.5=2

之前用sas边角边证明三角形eab全等三角形ecb

再之前可以证明三角形eao全等三角形eco，则角eoa=90度