Question

从区间（0,1）上任取两个实数，则方程 2a-ⅹ=b/ⅹ有实根的概率为？

Answer 1

化简2a-x=b/x,得:x^2-2ax+b=0,方程有解的条件是△=(2a)^2-4b≥0,即b≤a^2
在二维坐标轴内,横坐标x,纵坐标y,总区间是x∈[0,1],y∈[0,1]的正方形,面积=1
有解的区间是y=x^2,x=1,y=0围成的区域面积=1/3,
所以有解的概率是1/3 /1=1/3

Answer 2

2a-ⅹ=b/ⅹ
2ax-x^2-b=0
x^2-2ax+b=0有实根
4a^2-4b≥0
a^2-b≥0
∴b≤a^2
则由题意,P点落在一个正方形(除顶点)区域中,其面积为1.
而要使方程有根,即4a^2>=4b,此时P点应落在抛物线y=x^2上或下方的区域,
利用定积分可求出其面积为1/3
由几何概型可求出方程有根的概率为1/3