Question

已知平面α//平面β，AB,CD是夹在两平行平面间的两条线段，A,C在α内，B,D在β内，E,F分

已知平面α//平面β，AB,CD是夹在两平行平面间的两条线段，A,C在α内，B,D在β内，E,F分别在AB,CD上，且AE:EB=CF:FD=m:n.求证:EF//平面α

Answer 1

证明：分AB，CD是共面、异面两种情况讨论，
（1） 当AB，CD共面时，如图（a），
∴AC∥BD，连接EF，
∵AE：EB=CF：FD，
∴EF∥AC∥BD且，，∴EF∥平面α。
（2） 当AB，CD异面时，如图（b），
过点A作AH∥CD，交β于点H，在H上取点G，使AG：GH=m：n，
连接EF，由（1）证明可得GF∥HD，
又AG：GH=AE：EB，得EG∥BH，
∴平面EFG∥平面β∥平面α，
又EF面EFG，
∴EF∥平面α。