Question

已知函数fx=x+log以2为底[x/(5-x)],[x属于(0,5)].（1）求证fx+f(5

x)为定值，
（2）若数列an满足an=f(2+n/101),则数列an的前一百项的和

Answer 1

第一问的求证应该是f(x)+f(5-x)为定值吧，直接写下来 以下的函数自变量都满足定义域哦
(1):f(x)+f(5-x)=x+log2[x/(5-x)]+(5-x)+log2[(5-x)/x]=5+log2(1)=5
(2):有木有发现一个很好玩的事，a1为f(2+1/101)而f[5-(2+1/101)]=f(2+100/101)=a100
根据(1)的结论f(x)+f(5-x)为定值，所以a1+a100=5,同理可以发现a2+a99,a3+a98,a4+a97......a50+a51的和均为5，an前100项中有50对，所以S100（Sn为an前n项和）=250（好巧的数- -）
高中数学大题很多时候后面的问题可以从前面的问题得到提示 认真观察就有可能发现玄机哦
求好评哦 亲

Answer 2

1、
f（5-x）=5-x+log以2为底[（5-x）/x]
f（x）+f（5x）=5+log以2为底{[x/(5-x)]·[(5-x)/x)]=5+log以2为底1=5为定值。
2、
f（2+n/101）=2+n/101+log以2为底[（2+n/101）/(3-n/101)]
Sn=a1+a2+...+a100=2·100+（1+2+...+100）/101+log以2为底[(2+1/101)/(3-1/101)]`````[（2+100/101）/（3-100/101）]
由1知，f（x）+f（5-x）为定值、且=5。 x属于（0,5）
所以f（2+1/101）+f（2+100/101）=5，...，f（2+50/101）+f（2+51/101）=5。共50个
所以S100=200+50+5·50=500