Question

2道概率论 密度函数的题目。。

1. 若连续随机变量X的密度函数为：p（x）= { -X/2 -1≤x＜0
﹛kx 0≤x≤2
﹛0 其他
求：(1)常数k （2）分布函数F（x） （3）P﹙X＞-1﹚ (4)EX

2. 若连续随机变量X的密度函数为：p（x）= ﹛3e^(-3x) x≥0
﹛0 x＜0
求： （1）Y=2X-1的密度函数 （2）EY （3）DX

Answer 1

1.
（1）
∫(-1~0)-x/2 dx+∫(0~2)kx dx=1
0-(-1/4)+k(4-0)/2=1
2k=3/4
k=3/8
（2）.F(X) 每一行是根据x取值不同的情况
=0 (x<-1)
=∫(-1~x)-x/2 dx=1/4-x²/4 (-1<=x<0)
=∫ (-1~0)-x/2 dx+∫(0~x) 3x/8 dx =1/4+3x²/16 (0<=x<=2)
=1(x>2)
（3）P(X>-1)=1 小于-1的地方都是0，很好求。
（4）E(X)=∫ (-1~0)-x²/2 dx+∫(0~2) 3x²/8 dx
=1/6+1
=7/6
2.p（x）= ﹛3e^(-3x) x≥0
﹛0 x＜0
2dx=dy x=(y+1)/2
FY(y)=∫(0~y) 3e^(-3x) (dy/2)
=∫(0~y) [3e^(-3(y+1)/2)]/2 dy

p(y)=dFy(y)/dy= [3e^(-3(y+1)/2)]/2 (y>=-1)
=0(y<1)

EX=∫(0~无穷)3xe^(-3x) dx
=(1/3)∫(0~无穷)3xe^(-3x) d(3x)
=(1/3)gamma2
=1/3
EY=2EX-1=2/3-1=-1/3

E(X²)=∫(0~无穷)3x²e^(-3x) dx
=(1/9)∫(0~无穷)(3x)²e^(-3x) d(3x)
=(1/9) (gamma3)
=2/9
D(X)=E(X²)-E(X)²=2/9-1/9=1/9