Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn=n^2+1，数列｛bn｝满足bn=2/(an)+1，前n项和为Tn，设Cn=T(2n+1)-Tn

（1）求数列｛bn｝的通项公式；（2）求证数列｛Cn｝是单调递减数列；（3）若对n>=k时，总有Cn<16/21成立，求自然数k的最小值
改一下，bn=2/[(an)+1]，解一下吧、、、、、、、、、、、

Answer 1

你好：

(1)
∵数列{an}满足前N项和sn=n平方+1
∴Sn=n^2+1
S(n-1)=(n-1)^2+1
An=Sn-S(n-1)
=n^2+1-[(n-1)^2+1]
=2n-1
A1=S1=2
Bn=2/An +1=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)
B1=2/A1+1=2
Bn是一个首项为2，通项为(2n+1)/(2n-1) 的数列
(2)
Cn=T(2n+1)-Tn
要判断Cn的单调性只要判断Cn-C(n-1)是大于0还是小于0即可
Cn-C(n-1)=T(2n+1)-Tn-[T(2n-1)-T(n-1)]
=[T(2n+1)-T(2n-1)]-[Tn-T(n-1)]
=B(2n+1)+B(2n)-Bn
=[2(2n+1)+1]/[2(2n+1)-1]+[2(2n)+1]/[2(2n)-1]-[(2n+1)/(2n-1)]
=1+2[1/(4n+1)+1/(4n-1)-1/(2n-1)]
∵1/(4n+1)+1/(4n-1)-1/(2n-1)
= (1-8n)/[(4n+1)*(4n-1)*(2n-1)]
又∵1-8n<0,4n+1>0,4n-1>0,2n-1>0
∴(1-8n)/[(4n+1)*(4n-1)*(2n-1)]<0
但1+2[1/(4n+1)+1/(4n-1)-1/(2n-1)]<0
Cn单调递减
(3)
Sn=n^2+1
Sn-1=(n-1)^2+1
∴an=2n-1
bn=2/(2n-1+1)=1/n
Cn=bn+1+...+b2n+1=1/(n+1)+1/(n+2)..+1/(2n+1)
Cn+1=1/(n+2)+...+1/(2n+1)+1/(2n+2)+1/(2n+3)
Cn-Cn+1=1/(n+1)-1/(2n+2)-1/(2n+3)=1/(2n+2)-1/(2n+2)+1/(2n+2)-1/(2n+3)=1/(2n+2)(2n+3)>0
∴Cn为递减函数
C2=38/60>16/21>C3=319/420
∴k=3

追问

bn是等于2/[(an)+1]而不是2/an再加1

追答

我就是这样做的啊。

Answer 2

1. Sn-S(n-1)=An An=2n-1 Bn=2/(2n-1)+1

Answer 3

题真的错了。bn=2/（an+1）

追问

题没错、是我没输清楚、bn=2/[(an)+1]、你能做吗

追答

同学。这题也是我们暑假作业上的。
楼上的有解答木有问题啊。

Answer 4

的通项公式；（2）求证数列｛Cn｝是单调递减数列

Answer 5

题有错吧！怎么Cn证出来为增数列

追问

没错啊、题目就是这样的、、、、、