Question

已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-（n+1)/3^n

Answer 1

a1=S1=1。
n>=2时，an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1，a1=1适合此式，所以an=2n-1，n为正整数。
bn=an/3^n=(2n-1)/3^n。
Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+…+(2n-1)/3^n (1)
(1)/3得：Tn/3=1/3^2+3/3^3+5/3^4+…+(2n-1)/3^(n+1) (2)
(1)-(2)得：2Tn/3=1/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+…+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+2(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+1-1/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
所以，Tn=1-(n+1)/3^n。

Answer 2

证：
n=1时，S1=a1=1²=1
n≥2时，
Sn=n² Sn-1=(n-1)²
an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-1。
bn=an/3ⁿ=(2n-1)/3ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=1/3^1+3/3²+5/3^3+...+(2n-1)/3ⁿ
Tn/3=1/3²+3/3³+...+(2n-3)/3ⁿ+(2n-1)/3^(n+1)
Tn-Tn/3=(2/3)Tn
=1/3+2/3²+2/3³+...+2/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2(1/3²+1/3³+...+1/3ⁿ)-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2(1/9)[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3) -(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+1/3 -1/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-1/3ⁿ-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-3/3^(n+1)-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-(2n-1+3)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
Tn=(3/2)[2/3 -2(n+1)/3^(n+1)]=1-(n+1)/3ⁿ
等式成立。

Answer 3

解 a(1)=S(1)=1 ,a(n)=S(n)-S(n-1)=2n-1 ,n≥2, 所以an=2n-1(n≥1）
∵T(1)=1-(n+1)/3^n=1/3=b(1)
T(n)-T(n-1)=1-(n+1)/3^n-[1-(n-1+1)/3^(n-1)]
化简得T(n)-T(n-1)=(2n-1)/3^n=a(n)/3^n=b(n) 即证