Question

函数单调性问题

Answer 1

可以正反举例法证明不确定性,例如要证明单调性相反的两函数相加,得到的一定是单调函数;证明递增的时候可举反例f(x)=x,g(x)=-2x,则f+g是递减的;证明递减时可举反例f(x)=-2x,g(x)=x,则f+g是递减的;

单调性相同的两函数相减,得到的函数单调性不变;事实上也是指单调性相反的两个函数相加的情况,前面已经证明是不确定的.

证明相乘不确定性:设f(x)=x,g(x)=1/x^2,则单调性相反的两函数相乘情况下不一定是递增的;当g(x)=-1/x^2时,可得单调性相同的两函数相乘情况下不一定是递减的;

设f(x)=x^2,g(x)=1/x,则单调性相反的两函数相乘情况下不一定是递减的;当g(x)=-1/x时,可得单调性相同的两函数相乘情况下不一定是递增的;

至此为止,已经用举例法全部证明.

同时因为f,g函数都并不确定,所以暂时来说用图象法证明是不科学的,高中数学对此并不要求.

Answer 2

函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小,图像上看从左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数 （或f(x1)<f（x2）则是增函数）