Question

有界的数列一定是收敛数列吗

Answer 1

极限存在的数列一定是收敛数列，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。

收敛数列与其子数列间的关系：

1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

3、如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

全局收敛对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

局部收敛若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

Answer 2

如果数列有界，却不一定收敛，如：1、-1、1、-1、1、-1、……
如果数列无界，那么该数列一定发散。
如果数列收敛，那么该数列一定有界。

Answer 3

不一定，反例an=(-1)^n，有界的在【-1,1】上，但不收敛