Question

高一数学 快！已知二次函数fx满足f（-2）=0且2x小于等于fx小于等于（x∧2+4）/2对一切实数x都成立

（1）求fx的解析式
（2）设bn=1/f（n），数列bn的前n项和为sn求证sn大于4n/3（n+3）

Answer 1

(1)设f(x)=(x+2)(mx+n),
2x<=(x+2)(mx+n)<=(x^2+4)/2①恒成立，
令x=2,得4<=4(2m+n)<=4,
∴n=1-2m,①变为2x<=(x+2)(mx+1-2m)<=(x^2+4)/2,
<==>mx^2-x+2-4m>=0,且(2m-1)x^2+2x-2-2m<=0,
<==>0<m<1/2,1-4m(2-4m)<=0,1+(2m-1)(2m+2)<=0,
后两者变为16m^2-8m+1=(4m-1)^2<=0,4m^2+2m-1<=0,
∴m=1/4.
∴f(x)=(x+2)(x/4+1/2)=(1/4)(x+2)^2.
(2)bn=4/(n+2)^2,
n=1时b1=4/9>4/12,不等式成立。
n>1时Sn=4/3^2+4/4^2+……+4/（n+2)^2>4n/[3(n+3)],
只需1/(n+2)^2>n/[3(n+3)]-(n-1)/[3(n+2)]=1/[(n+2)(n+3)],
这时显然的，所以命题成立。