Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。

Answer 1

考点：切线的判定；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

分析：连接OD，由BC是⊙O的切线得到∠B=90°，然后证明△OCD≌△OCB，得到∠ODC=90°，

解答：

证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠B=90°，

∵AD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4

                                                                                                                              

∵OA=OD，

∴∠2=∠3=∠1=∠4，

∵OB=OD，OC=OC，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=90°，又∵CD过半径OD的外端点D，

∴DC是⊙O的切线

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

追问

如图，0A和OB是⊙O的半径，并且0A⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延线交⊙0于Q。过Q作⊙0的切线0A的延长线于R，求证：Rp=RQ。

求解

追答

Answer 2

证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OC∥AD，
∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA．
∴∠DOC=∠BOC，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC．
∴∠ODC=∠OBC．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°
∴DC是⊙O的切线

Answer 3

恩