Question

线性代数，特征值特征向量

Answer 1

参考:
设A是秩为1的n阶方阵, 则
1. A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0).
反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0), 则r(A)=1.
2. A^k = (β^Tα)^(k-1)A
3. A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,...,0
4. tr(A)=α^Tβ
说明:
1. 方法: 取A的一个非零的行向量,设为 β^T,
则其余各行是此行的ki倍.
令α=(k1,...,kn)^T, 则 A=αβ^T.
反之, 若A=αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)
则 A≠0, 所以 r(A)>=1
又因为 r(A)=r(αβ^T)<=r(α)=1
所以 r(A)=1.
2. A^k=(αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)...(αβ^T)
= α(β^Tα)(β^Tα)(β^T...α)β^T
= (β^Tα)^(k-1)αβ^T
= (β^Tα)^(k-1)A
3.
因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α
所以α是A的属于特征值β^Tα(≠0)的特征向量
因为r(A)=1
所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量
即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个
所以0至少是A的n-1重特征值
而n阶方阵有n个特征值
所以A的特征值为 β^Tα,0,0,...,0(n-1重)
属于特征值0的特征向量:
设β=(b1,b2,...,bn)^T≠0, 不妨设b1≠0
则A经初等行变换化为
b1 b2...bn
0 0 ... 0
... ...
0 0 ... 0
Ax=0的基础解系为
(b2,-b1,0,...,0)^T
(b3,0,-b1,...,0)^T
...
(bn,0,0,...,-b1)^T
此即为A的属于特征值0的n-1个线性无关的特征向量

Answer 2