Question

设集合A的元素个数为n,则集合A的含奇数个元素的子集的个数是？

RT
是1/2n吗？

Answer 1

A中含有k个元素的子集的数目是C(n,k) = n!/k!(n-k)!, 则奇数个元素的子集数为:
C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) +... + C(n,n) 当n是奇数时
或 C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) +... + C(n,n-1) 当n是偶数时。

追问

我列过，不论奇偶数都是1/2，是吗？

追答

答案是肯定的。奇偶子集数各占半数。

简单计算一下即可得到。

应用组合公式 C(n-1, k-1) + C ( n-1, k) = C(n, k) 我们有:

C(n-1, 0) + C(n-1, 1) = C(n,1)

C(n-1, 2) + C(n-1, 3) = C(n,3)

......

C(n-1, 2k) + C(n-1, 2k+1) = C(n,2k+1)

也就是说，右边是所有奇数项的和，而左边是关于n-1的二次项目系数。

1. 如果n是偶数，且2k+1 = n-1， 则  左边和 = 2^(n-1) 

2. 如果n是奇数，且2k = n-1，则 左边和仍然等于 2^(n-1),

所不论n是奇数还是偶数，奇数子集的个数都是2^(n-1)，而全部子集个数是2^n, 所以奇偶各占半数都是2^(n-1)个。

 

Answer 2

不知你是高中几年级的，高一的话是不讲子集个数的证法的，而高一的想法是这样{1}这个集合中有两个子集{1}和∅，同理{1,2}中有4个子集，在向下{1,2,3}有2³=8个子集，以此类推，则集合{1,2,3...n}中有2的n次幂个子集。建议观察思考一下杨辉三角形，并找出其个数和三角形有什么关系。