Question

设函数f(x)=x^2-ax+2lnx,其中a＞0

1)当a＜4时，判断函数f(x)的单调性
2）当a=5时，求函数f(x)的极值
3）证明；当x≥1时，x^2+2lnx≥3x
请详细点，谢谢

Answer 1

1.定义域x>0,f'(x)=2x-a+2/x=(2x^2-ax+2)/x 令△=a^2-4*2*2<0恒成立,所以2x^2-ax+2>0恒成立
当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)递增
2.令f'(x)=0得:2x^2-5x+2=0,所以(2x-1)(x-2)=0,所以x=1/2或x=2
0<x<1/2时,f'(x)>0,1/2<x<2时,f'(x)<0,x>2时,f'(x)>0,所以x=1/2是极大值,x=2是极小值
3.令a=3,f'(x)=(2x^2-3x+2)/x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)≥f(1)=-2
所以x^2-3x+2lnx≥-2,所以x^2+2lnx≥3x-2
注:原题中x=1的话,左边=1,右边=3,不可能成立

Answer 2

f(x)=x^2-ax+2lnx
f'(x)=2x-a+2/x
令　f'(x)=0 则　　2x^2-ax+2=0
1、当 a<4 时，a^2-4*2*2=a^2-16<0
函数f(x)在实数范围内无驻点
　取x=1 f'(1)=4-a>0
所以此时函数为单调增函数。
2、当a=5 时
　2x^2-5x+2=0
x=1/2 或　x=2
即当x=2　及　x=1/2时，函数f(x)有极值
　　f(2)=4-10+ln4
　　f(1/2)=1/4-5/4-ln4
3、不可能。
　x=1时　x^2+2lnx=1 3x=3 x^2+2lnx<3x
x=2时　x<e lnx<1 2lnx<2 x^2+2lnx<6 3x=6 x^2+2lnx<3x

Answer 3

求导得f(x)'=2x-a ，（x>0)
a<4时，没单调性啊。。。。。。。。。。。。。

Answer 4

用求导来做吧 ，很简单的，注意函数的定义域是x>0

追问

请给做一下第一问