Question

数列题，求助！！！！！

已知数列{an}满足a1=1/4,a2=3/4,a(n+1)=2an-a(n-1)(n>等于2,n属于N*)，数列{bn}满足：b1<0,3bn-b(n-1)=n(n>等于2,n属于N*)，数列{bn}的前n项和为Sn
(1)求证:数列{an}为等差数列
(2)求证:数列{bn-an}为等比数列
(3)若当且仅当n=4时，Sn取得最小值，求b1的取值范围
前两问，我会，不用解答了。。。第三问谁教教我！！！！！

Answer 1

你好 首先求出Sn 因为bn=(2n-1)/4+(b1-1/4)(1/3)^(n-1) 可以看成：等差数列（2n-1)/4和等比数列（b1-1/4)(1/3)^(n-1) 因此易求得：Sn=n²/4 +3/2 *(b1 -1/4)[1-(1/3)^(n-1)] 解决数列最值问题，有一个通用的公式：Sn＜Sn-1,Sn＜Sn+1 可以解得n的值，此时Sn去最小值 所以列出Sn＜Sn-1,Sn＜Sn+1可以对应求得下列不等关系：（2n-1）/4 +(b1-1/4)(1/3)^(n-1)＜0, (2n+1)/4 +(b1 -1/4)(1/3)^n ＞0 因为当且仅当n=4时，Sn取得最小值 所以以上不等式成立时，n=4 故代入n=4可求得：-182＜b1＜-27 这是此类题目的通用方法（适合非单调的数列），也可以用二楼的方法（利用数列的单调性）

Answer 2

去掉前两问（那只是提示），现在题目变成：数列{bn}满足：b1<0,3bn-b(n-1)=n(n>等于2,n属于N*)，数列{bn}的前n项和为Sn。若当且仅当n=4时，Sn取得最小值，求b1的取值范围。
解：不动点法，先化成标准形式，b(n)=[n+b(n-1)]/3，
令b(n)=b(n-1)=x，得x=n/2，
两边减去不动点递推公式化为
b(n)-n/2=[b(n-1)-n/2]/3=[b(n-1)-(n-1)/2]/3-1/6
再令b(n)-n/2=c(n)，得
c(n)=c(n-1)/3-1/6
再用不动点法，求出
c(n)+1/4=[c(n)+1/4]/3
得出数列{c(n)+1/4}，即{b(n)-n/2+1/4}是以1/3为公比的等比数列。
所以求出Sn-n(n/2+1/2)/2+n/4=(b1-1/4)[1-(1/3)^n]/[1-1/3]
化简，得
Sn=n^2/4+3(b1-1/4)[1-(1/3)^n]/2
把n换成x，容易得出Sx的极点最多只有一个（求倒，作图，两基本函数的交点）
所以由题意，一定有一极点，而且是极小值，而且极点在4和6之间
数学表示即为S3＞S4，S5＞S4
解得-182<b1<-47

Answer 3

我先写下(1)(2)问的一些结果
an=(2n-1)/4
bn-an=(b1-1/4)/[3^(n-1)]
bn=(2n-1)/4+(b1-1/4)/[3^(n-1)]
注意到bn为单调增的数列
由题意只要满足S3>S4，S5>S4即可
所以b4<0，b5>0
所以-182<b1<-47

Answer 4

1）证明：a(n+1)=2an-a(n-1)
a(n+1)-an=an-a(n-1)=a2-a1=1/2
即{an}是等差数列
an=1/4+(n-1)/2=n/2-1/4
2)证明：∵3bn-b(n-1)=n
∴3(bn-n/2+1/4)=b(n-1) -(n-1)/2+1/4
令cn=bn-n/2+1/4=bn-an
∴3cn=c(n-1)
∴cn是q=1/3的等比数列
cn=c1(1/3)^(n-1)=(b1-1/4)(1/3)^(n-1)
bn=(b1-1/4)(1/3)^(n-1)+n/2-1/4
3）解：当n=4时Sn取最小值说明b4<=0,b5>0
b4=(b1-1/4)(1/3)^3+4/2-1/4<=0 b1<=-47
b5=(b1-1/4)(1/3)^4+5/2-1/4>0 b1>-182
即 -182<b1<=-47

Answer 5

bn=(b1-a1)*(1/3)^(n-1)+an,b(n+1)=(b1-a1)*(1/3)^n+a(n+1), b(n+1)-bn=2*(a1-b1)*(1/3)^(n-1)+1/2,所以b(n+1)＞bn，bn为增数列，所以只要b4<0,b5>0,所以可以得到-182<b<-47