Question

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k);
(2)求ab的最小值，并求出此时a与b所成的角的大小

Answer 1

|ka+b|=√3|a-kb|
==>(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)2=3[(cosα-kcosβ)^2+(sinα-ksinβ)^2]
k^2+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[k^2+1-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
8k(cosαcosβ+sinαsinβ)=2k^2+2
4k(cosαcosβ+sinαsinβ)=k^2+1
(1).ab=cosαcosβ+sinαsinβ=(k^2+1)/4k(k>0)
(2).ab=(k^2+1)/4k=(k/4)+(1/4k)>=2根号下(k/4*1/4k)=1/2
所以ab>=1/2,且当k/4=1/4k时,可以取"="
即k=1(k>0)时,ab取最小值1/2
ab=1/2=|a|*|b|*cosa=1*1*cosa
cosa=1/2
所以a=60度.
ab的最小值是1/2,此时a与b所成的角的大小是60度