Question

讨论以下函数在x=0处的连续性

x>0时，f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x<0时，f(x)=e^(-1/2)
不好意思~题目还是打错了……
x>0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)

Answer 1

不连续，因为函数在x=0处无定义。
有定义是一个函数在一点处连续的先决条件(必要条件)。

为了讨论函数的连续性，往往补充函数在一点处的值（使之有定义）。

对于本题，由于 x→0- 时，f(x) → e^(-1/2)
x→0+ 时，1/x → +∞，f(x) → +∞
所以，无论怎样补充定义，函数在x=0处均不连续。

（疑为函数表达式给错了。是这样吗：x>0时，f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x) ？）

追问

不好意思~题目打错了……
x>0时，f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)

追答

你只是给出了函数在x=0处的值，仍然没有改变 x→0+ 时，1/x → +∞，f(x) → +∞的本质。
作个变量代换 t=1/x，也许就更清楚了。
y=[(1+t)^t/e]^t (x>0)
当x→0+ 时，t → +∞，(1+t)^t → +∞，[(1+t)^t/e]^t → +∞，f(x) → +∞

追问

不好意思~题目还是打错了……
x>0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
真是对不住您呐……

追答

一开始我就怀疑x>0时表达式错了，果然。

两端取自然对数，则lnf(x)=(1/x)[(1/x)ln(1+x)-1]=(1/x)^2[ln(1+x)-x]
所以 x→0+时，
lim lnf(x)= lim {[ln(1+x)-x]/x^2}
=lim {[1/(1+x)-1]/(2x)}
=lim -1/(2+2x)
=-1/2
因此，f(x)→ e^(-1/2)

由于 lim(x→0)f(x)=e^(-1/2)=f(0)，
所以 f(x)在x=0处连续。

追问

你真厉害，但是是伊兰卡先回答的……对不起是我屡次打错题目的原因令你迟答的，可是为公平起见，我还是想采纳伊兰卡，您有意见吗？
哎……不对啊，你和楼下的答案有点出入啊？……你们2个到底谁是对的？

追答

只要能帮到你，谁都一样。

他那个分母有点错，约分后应该是 2x+2，碰巧x趋于0使得系数的错被掩盖了。

Answer 2

∵x＞0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
∴两边同时取自然对数时，有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ )
∴函数于x＝0处连续

追问

O(∩_∩)O谢谢

追答

我看了一下西域牛仔王的答案：
lnf(x)=(1/x)[(1/x)ln(1+x)-1]=(1/x)^2[ln(1+x)-x]
和我的答案对照：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
发现就是(1/x)^2[ln(1+x)-x]和{㏑[1+x]-x}/（1/x²）的差别
于是我发现是我打多了一个“/”
到目前为止西域牛仔王是对的
然而他下一步就错了：
=lim {[1/(1+x)-1]/(2x)}后，应该是：
＝lim（-x）/(2x²+2x)
再上下求导，应该是：
＝lim（-1）/(4x+2)
也就是我的答案
不知道西域牛仔王是否认同？