Question

高中数学题

奇 函数f(x)定义在R上，且对常数T大于0，恒有f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]上，方程f(X)=0根的个数至少有几个？答案是5个。请给出详细解释，

Answer 1

奇函数，所以f(0)=0
而f(x+T)=f(x)
令x=0，那么f(T)=f(0)=0；
令x=T，那么f(2T)=f(T)=0；
令x=-T/2，那么f(-T/2+T)=f(-T/2)，即f(T/2)=f(-T/2)
而f(T/2)=-f(-T/2)，所以f(T/2)=f(-T/2)=0
令x=T/2，那么f(3T/2)=f(T/2)=0
所以至少有0、T/2、T、3/2*T、2T是零点

望采纳

追问

为什么会想到令令x=-T/2，和令x=T/2？

追答

这是最常见的倍数关系，你就一个个试呗

Answer 2

1. f(x)是奇函数，定义在R上，说明f(x)关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，并且函数图像过原点，即f(0)=0。

2. 对常数T大于0，恒有f(x+T)=f(x), 说明T为f(x)的周期。

3. 因f(0)=0，所以f(T)=0，f(2T)=0。

4. 在(0,T)区间，至少有一点x1，使得f(x1)=0，同理，在(T,2T)区间，必有点(x1+T)，使得f(x1+T)＝0

5. 综上，在[0,2T]区间，至少有5个点 0, X1 , T , X1+T , 2T ，使得f(x)=0。

    

Answer 3

因为是奇函数所以f(x)=-f(-x),又单调递减所以若f(x1)<f(x2)则x1>x2
首先根据函数定义域(-1,1)得 -1<1-a<1,-1<1-a²<1 得0<a<√2
f(1-a)+f(1-a²)＜0得f(1-a)<-f(1-a²) -f(1-a²)=f(a²-1) 所以f(1-a)<f(a²-1) 以为递减所以 1-a>a²-1得
-2<a<1. -2<a<1,0<a<√2 求交集得0<a<1
求采纳为满意回答。

Answer 4

奇函数中，f(0)=0,这时候1个。对常数T大于0，恒有f(x+T)=f(x)，这说明它饿周期为T，因此，在【0，T】有2个，【T，2T】也有2个，因此一共至少5个